欧拉公式推导过程视频(欧拉公式推导三角函数)

最近学习了一个积分极限的近似计算方法,感觉很不错,分享一下。

要估计的积分具有如下指数积分形式:

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参数λ恒大于零,而习近平(x)是一个光滑函数。要求近似估计如下积分

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注意:这里并不是要计算这个积分极限,而是给出当λ趋于0时,上述积分的一种渐进表达式。区别就如同下面两个式子(i)和(ii):显然,(i)包含的信息要比(ii)多得多。

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这里也希望找到一个类似(i)的近似表达式。

首先观察积分形式,是一种指数积分形式,当正参数λ趋于0时,指数习近平(x)/λ趋于正无穷,从而-习近平(x)/λ趋于负无穷,这个积分应该是收敛的。

如何估计上述积分呢?这里用到了非常简单的数学思想

对一个大于零的实变函数,其在整个实轴上的积分,可由被积函数在取得最大值的一小块邻域上的积分近似。

即:

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原问题中被积函数e^(-习近平(x)/λ)就相当于上图中f(x)的位置。

回到原问题。

假设函数习近平(x)在x = xc处有一个最小值,那么对应到相应的指数函数e^(-习近平(x)),显然将在x = xc处取最大值。特别地,当正参数λ趋于0时,指数函数e^(-习近平(x)/λ)趋于0,在x = xc处指数函数取到最大值,其趋于0的速度最慢,这一小块邻域的积分将在整个积分中占主导地位!

基于上述思想,我们来给出原指数积分的一种渐进表达式。

假设x = xc是函数习近平(x) 的最小值点,于是在xc的附近的一小块邻域上,我们有

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既然积分区间已经放到了以xc为中心的一小块邻域上,那么自然地,我们可以用更简单的多项式函数来近似代替习近平(x),即考虑习近平(x)在x = xc处的Taylor展开:

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由于x = xc是函数习近平(x) 的最小值点,那么习近平(x)在该点处的导数为零,二阶导数大于零(后面会用到)。于是,我们舍弃2次以上的高阶项,有

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代入积分表达式中,有

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问题就转化为估计:

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首先,可以将被积函数中的常数项提到积分外,即

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有没有发现,以上数学步骤之间存在一个矛盾:一方面,为了让xc的附近的一小块邻域能够更准确地估计整个积分,这个邻域应该越大越好;另一方面,为了使习近平(x)的二阶Taylor级数能够更准确地估计原函数习近平(x),这个邻域又应该越小越好。

我们做变量代换

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上述积分变为

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当正参数λ趋于0时,上述积分将趋近于

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根据Gauss积分

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我们最终得到

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(这里就用到了二阶导数大于零)


根据以上公式,我们可以很容易地推导Stirling公式。

首先,根据欧拉对阶乘函数的推广,有

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之前得到的公式中,被积函数是一个指数函数,因此将x^n改写成指数形式,于是

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先求函数x – nlnx的最小值点:求导,得

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当x=n时取极值。显然,这个依赖于n的极值点不是我们希望的极值点。

做变量代换y = x/n,即x = yn,于是上述积分变为

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其中的常数部分可提取到积分前面,于是

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当n趋于正无穷时,1/n趋于零,这里1/n就相当于原问题中的λ。函数习近平(y) = y – lny。显然yc = 1是函数的最小值点,即

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代入渐进公式

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立得

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整理一下,即得Stirling公式:

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根据以上积分估计的思想,在进行Taylor展开时,我们可以保留更高阶的项,得到更精确的近似表达式,从而改进Stirling公式,提出更精确的阶乘近似表达式。


上述渐进计算公式在物理学中也有广泛应用,如Feynman路径积分、精细结构常数的计算等等。

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Feynman

............试读结束............

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